Разбор задания 9. Уравнения и системы уравнений — теория и разбор

Задание 9. Уравнения и системы уравнений — теория и разбор

В этом задании встречаются три формата: линейное уравнение, квадратное уравнение и система (двух уравнений или двух неравенств). Линейное решается переносом слагаемых, система — обычно подстановкой. Самый содержательный из трёх — полное квадратное уравнение через дискриминант, на нём и разберём задание подробно.

Что нужно знать

Откуда берётся дискриминант

Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают по формуле x = (−b ± √D) / (2a), где D = b² − 4ac. Число D — это то самое выражение под корнем в формуле корней. Именно поэтому его знак решает всё дальнейшее: корень квадратный из отрицательного числа среди действительных чисел не существует, из нуля — единственное значение, из положительного — два разных значения (с плюсом и с минусом перед корнем).

Три случая

• D > 0 — два разных корня: x₁ = (−b + √D) / (2a), x₂ = (−b − √D) / (2a).
• D = 0 — один корень (говорят также «два совпадающих»): x = −b / (2a).
• D < 0 — действительных корней нет: под корнем оказалось бы отрицательное число.

Когда коэффициент c в уравнении отрицательный, при вычислении −4ac получаются два минуса подряд («минус» из формулы и «минус» самого c), которые в сумме дают плюс — если по невнимательности оставить один минус, дискриминант посчитается неверно и может «случайно» стать отрицательным там, где на самом деле уравнение имеет два корня.

Типичная ошибка на знаке c

Пусть c = −1, как в разборе ниже. Тогда −4ac = −4 · a · (−1) = 4a — положительное слагаемое, которое увеличивает дискриминант. Если по невнимательности вычислить −4ac как −4a (потерять минус перед c), дискриминант окажется на 8a меньше настоящего — для уравнения из разбора это дало бы D = 16 − 20 = −4 вместо верного D = 36, и можно было бы ошибочно решить, что у уравнения вообще нет корней.

Проверка корня подстановкой: если x₀ — корень, то a·x₀² + b·x₀ + c должно равняться нулю — это самый надёжный способ поймать ошибку в вычислениях, даже если сама формула применена правильно.

Теорема Виета (сумма корней = −b/a, произведение = c/a) удобна, когда оба корня — небольшие целые числа, которые легко угадать подбором. Если же ответ дробный (как в разборе ниже, где один из корней равен 0,2), подбором его не найти — быстрее и надёжнее сразу считать через дискриминант, а Виету использовать только для проверки: x₁ + x₂ и x₁ · x₂ должны совпасть с −b/a и c/a.

Разбор примера

Как думать. Уравнение уже в стандартном виде ax²+bx+c=0 — выписываем коэффициенты, аккуратно считаем −4ac (не забывая про знак c), находим дискриминант и оба корня по формуле, а в ответ записываем больший из них.

Коэффициенты: a = 5, b = 4, c = −1.

Дискриминант: D = b² − 4ac = 4² − 4 · 5 · (−1) = 16 − (−20) = 16 + 20 = 36.

√D = √36 = 6.

2a = 2 · 5 = 10.

Корни: x = (−4 ± 6) / 10.

x₁ = (−4 + 6) / 10 = 2 / 10 = 0,2.

x₂ = (−4 − 6) / 10 = −10 / 10 = −1.

Проверка подстановкой для x₁ = 0,2: 5·0,2² + 4·0,2 − 1 = 5·0,04 + 0,8 − 1 = 0,2 + 0,8 − 1 = 0 — верно.

Больший из двух корней — 0,2 (он больше, чем −1), поэтому в ответ идёт именно он.

Ответ: 0,2