Разбор задания 23. Геометрическая задача на вычисление (ч. 2) — теория и разбор
Высота ромба через отрезки, на которые она делит сторону, и теорему Пифагора — реальная задача ФИПИ 2026 с ответом 20.
Задание 23. Геометрическая задача на вычисление (ч. 2) — теория и разбор
Задача этой части почти всегда сводится к одному прямоугольному треугольнику, скрытому внутри более сложной фигуры, — нужно только правильно его найти и применить теорему Пифагора или тригонометрию.
Что нужно знать
Все стороны ромба равны между собой. Это ключевое свойство, которое превращает задачу о ромбе в задачу о прямоугольном треугольнике: если провести высоту из вершины ромба к противоположной стороне, эта высота вместе с частью стороны и диагональю (или самой стороной ромба как гипотенузой) образует прямоугольный треугольник.
Если высота AH, опущенная на сторону CD ромба ABCD, делит эту сторону на отрезки DH и HC, то сама сторона CD = DH + HC (высота падает на отрезок между вершинами, и он весь состоит из этих двух частей). А так как в ромбе все стороны равны, AD = CD — то есть сторона AD, которую и хочется найти или использовать, равна той же сумме DH + HC.
Дальше — обычный прямоугольный треугольник ADH: катет DH (известен из условия), гипотенуза AD (сторона ромба, только что найденная как сумма отрезков), и второй катет AH — как раз высота ромба, которую нужно найти. Теорема Пифагора: AH² = AD² − DH².
Первый шаг почти всегда — не теорема Пифагора, а вычисление стороны ромба как суммы двух отрезков, на которые высота делит соседнюю сторону: без этого шага размер гипотенузы не известен, и теорему Пифагора применить не к чему.
Опорный факт для ромба: сторона ромба, к которой падает высота из соседней вершины, равна сумме двух отрезков, на которые эта высота её делит —
CD = DH + HC— и, поскольку все стороны ромба равны, эта же сумма равна и сторонеAD, которая становится гипотенузой прямоугольного треугольника с высотой.
Разбор примера
Ниже — реальное задание этого номера с реальными числами (методические рекомендации ФИПИ для предметных комиссий, 2026 год, полностью разобранный пример с максимальным баллом).
Условие (как на экзамене)
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Как думать. Сначала находим сторону ромба как сумму DH + CH (все стороны ромба равны, значит эта же длина равна и стороне AD), затем в прямоугольном треугольнике ADH применяем теорему Пифагора: катет DH и гипотенуза AD известны, ищем второй катет AH — искомую высоту.
ABCD — ромб, поэтому все его стороны равны, в частности AD = CD. Сторона CD состоит из двух отрезков, на которые её делит высота: CD = DH + HC = 21 + 8 = 29. Значит, AD = 29.
Высота AH перпендикулярна CD по определению высоты, поэтому треугольник ADH — прямоугольный с прямым углом при вершине H. В нём AD — гипотенуза (сторона ромба), DH = 21 — один катет, AH — второй катет, который и нужно найти.
По теореме Пифагора: AH² = AD² − DH² = 29² − 21² = 841 − 441 = 400.
AH = √400 = 20.
Ответ: 20
По этой теме
Диаграммы: чтение и интерпретация данных
Работа с данными · Диаграммы: чтение и интерпретация данных
Ученик сможет читать простую столбчатую диаграмму, сравнивать значения, находить сумму и разность данных и делать выводы.
Числа до 1000
числа до 1000 · Сводный список по учебному плану
Ученик сможет читать, записывать, сравнивать и упорядочивать числа от 0 до 1000, находить соседние числа и объяснять сравнение по разрядам.
Час и минута
час/минута · Числа и величины
Ученик понимает тему «час/минута» и может применить её в типовом задании своего класса, объяснив ключевой шаг простыми словами.
ЕГЭ по профильной математике — вероятность
Теория вероятностей
ЕГЭ по профильной математике — вероятность. Задания по теме «Теория вероятностей» для учеников: ЕГЭ. Материал подходит для урока, самостоятельной работы, повторения и занятий с репетитором.