Разбор задания 21. Текстовая задача (ч. 2) — теория и разбор

Задание 21. Текстовая задача (ч. 2) — теория и разбор

Задача на движение, работу или смеси — но за разными сюжетами почти всегда стоит одно уравнение с одной неизвестной. Разберём самый частый вид: движение по реке, где реальная сложность не в физике, а в аккуратном составлении дробно-рационального уравнения.

Что нужно знать

При движении по реке скорость лодки (катера, плота) складывается или вычитается со скоростью течения:

• по течению собственная скорость складывается с течением: v + vтеч;
• против течения — вычитается: v − vтеч,

где v — собственная скорость судна в неподвижной воде (её и находят чаще всего).

Время на каждом отдельном участке пути считается по формуле t = S / v, где S — расстояние этого участка, v — скорость именно на нём. Если в условии сравниваются два времени («на обратный путь ушло на 4 часа меньше») или складываются два времени («весь путь занял 16 часов»), это напрямую даёт уравнение относительно v.

После составления уравнения в знаменателях стоят выражения v − vтеч и v + vтеч — уравнение дробно-рациональное. Стандартный приём: перенести всё в одну часть, привести к общему знаменателю (v − vтеч)(v + vтеч), а затем домножить обе части на этот знаменатель, чтобы получить обычное квадратное уравнение без дробей.

Собственная скорость судна всегда больше скорости течения — иначе оно не смогло бы двигаться против течения вообще, — поэтому при выборе между двумя корнями квадратного уравнения отрицательный корень (или корень, не превышающий скорость течения) отбрасывается по смыслу задачи, а не по формальному признаку «меньше нуля».

Общая схема составления уравнения для пути против течения и обратно по течению: время против течения минус время по течению равно данной в условии разности времён, то есть S / (v − vтеч) − S / (v + vтеч) = Δt.

Разбор примера

Ниже — реальное задание этого номера с реальными числами (методические рекомендации ФИПИ для предметных комиссий, 2026 год, полностью разобранный пример с максимальным баллом).

Как думать. Обозначаем собственную скорость лодки за v (км/ч), выражаем время против течения и по течению через v, и связываем их уравнением: время против течения минус время по течению равно 4 часам (именно на столько путь против течения дольше обратного).

Пусть v — собственная скорость лодки, v > 3 (иначе против течения лодка вообще не продвинется).

Скорость против течения: v − 3; скорость по течению (обратный путь): v + 3.

Время против течения: 210 / (v − 3); время по течению: 210 / (v + 3).

По условию первое время больше второго на 4 часа:

210 / (v − 3) − 210 / (v + 3) = 4

Приводим левую часть к общему знаменателю (v − 3)(v + 3) = v² − 9:

[210(v + 3) − 210(v − 3)] / (v² − 9) = 4

В числителе 210(v + 3) − 210(v − 3) = 210v + 630 − 210v + 630 = 1260 — переменная v в числителе сокращается, остаётся только число. Уравнение превращается в простое:

1260 / (v² − 9) = 4

1260 = 4(v² − 9)

1260 = 4v² − 36

4v² = 1296

v² = 324

v = 18 (второй формальный корень v = −18 не подходит: скорость не бывает отрицательной).

Проверка: v = 18 > 3 — ограничение на область допустимых значений выполнено. Время против течения: 210 / 15 = 14 ч; время по течению: 210 / 21 = 10 ч; разница 14 − 10 = 4 ч — совпадает с условием.

Ответ: 18 км/ч