Разбор задания 18. Фигуры на квадратной решётке — теория и разбор

Задание 18. Фигуры на квадратной решётке — теория и разбор

Фигура нарисована на клетчатой бумаге (сторона клетки = 1), и все размеры считываются прямо по клеткам — не нужно ничего измерять линейкой, только считать клетки.

Что нужно знать

На решётке площадь ромба (и любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями) считается через длины диагоналей, которые тоже считаются по клеткам:

S = d₁ · d₂ / 2

где d₁ и d₂ — длины диагоналей. Ромб на клетчатой решётке с диагоналями

Для параллелограмма на решётке чаще применяют S = a · h (основание, посчитанное по клеткам вдоль стороны, умноженное на высоту — число клеток по перпендикуляру до противоположной стороны). Диагонали ромба всегда перпендикулярны и делят друг друга пополам — это не совпадение конкретного рисунка, а свойство любого ромба, и именно оно позволяет применять формулу через диагонали.

На клетчатой решётке длина отрезка вдоль линии сетки считается прямым подсчётом клеток, а длина наклонного отрезка (не вдоль линии сетки) — через теорему Пифагора по числу клеток по горизонтали и вертикали, а не на глаз; если же обе диагонали ромба идут строго по линиям сетки, как в большинстве задач этого номера, для них достаточно прямого подсчёта клеток.

Формула площади ромба через диагонали: S = d₁ · d₂ / 2, где обе диагонали перпендикулярны и пересекаются в середине.

Разбор примера

Условие (как на экзамене)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Ромб с диагоналями 8 и 2 клетки, площадь 8

Как думать. Обе диагонали ромба на рисунке идут строго по линиям сетки — одна вертикально, другая горизонтально, — поэтому их длины считаются прямым подсчётом клеток, без теоремы Пифагора.

По рисунку вертикальная диагональ проходит через 8 клеток (от верхней вершины ромба до нижней), а горизонтальная — через 2 клетки (от левой вершины до правой). Подставляем в формулу площади ромба через диагонали:

S = d₁ · d₂ / 2 = 8 · 2 / 2 = 16 / 2 = 8

Ответ: 8