Разбор задания 4. Определение вероятности — теория и разбор

Задание 4 ЕГЭ по математике (профиль): вероятность события

На первый взгляд задание 4 кажется «лёгкими баллами перед сложной частью» — подставил числа в формулу, получил ответ. Но именно на нём чаще всего теряют балл те, кто выучил формулу, но не понимает, что она значит. Задание 4 проверяет не умение делить одно число на другое, а способность честно пересчитать: сколько вообще может произойти исходов и сколько из них устраивают нас. Если это понимание есть, формула сама подставляется правильно — хоть с костями, хоть с монетами, хоть с шариками в коробке.

В реальных вариантах ЕГЭ задание 4 встречается в нескольких обличьях: «чистая» классическая вероятность (кости, монеты, шары, билеты), задачи на противоположное событие, задачи на независимые события (несколько испытаний подряд) и изредка — геометрическая вероятность, где исходов бесконечно много и вместо подсчёта количества сравнивают длины отрезков или площади фигур (например, стрелка часов останавливается в случайной точке циферблата). Формат меняется, а идея одна: вероятность — это всегда доля «нужного» среди «возможного».

Что нужно знать

Классическое определение вероятности

Всё начинается с понятия элементарного исхода — одного из равновозможных результатов случайного эксперимента (например, выпадение конкретной грани кубика). Множество всех таких исходов называют пространством исходов, а число исходов, при которых интересующее нас событие происходит, — благоприятствующими исходами.

Классическое определение вероятности: P(A) = m / n, где m — количество исходов, благоприятствующих событию A, а n — общее число всех равновозможных исходов.

Работает это только тогда, когда все исходы действительно равновозможны — то есть у монеты орёл и решка выпадают одинаково часто, а грани кубика не «подкручены». Если это условие в задаче явно или неявно нарушается (кубик «нечестный», шары разного веса), классическая формула не подходит — но в задании 4 такие подставы почти не встречаются, там честные монеты, кости, шары и билеты.

Противоположное событие

Противоположное событие (обозначается Ā) — это событие «A не произошло». Ключевое свойство: A и Ā вместе покрывают вообще все исходы, поэтому их вероятности всегда в сумме дают единицу:

P(A) + P(Ā) = 1, то есть P(Ā) = 1 − P(A).

Этот приём экономит массу времени, когда исходов, благоприятных для A, много и их неудобно перечислять, а исходов, благоприятных для Ā, — мало. Классический пример: вероятность того, что при броске двух монет выпадет хотя бы один орёл, проще найти как 1 минус вероятность того, что орла не будет вообще (обе решки).

Независимые события

События называют независимыми, если наступление одного никак не влияет на вероятность другого — например, результат первого броска кубика не зависит от результата второго. Для независимых событий вероятность того, что произойдут оба, равна произведению их вероятностей:

P(A и B) = P(A) · P(B).

Именно это правило используют в задачах про две сыгранные партии, два экзаменационных билета подряд или голоса нескольких людей — если события реально не связаны друг с другом. Главная ошибка в задании 4 — не в вычислениях, а в подсчёте исходов: пока не пересчитаны честно все n и все m, любая формула бесполезна.

Разбор примера

Дано: в случайном эксперименте бросают две игральные кости (два кубика).

Найти: вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Ответ округлить до сотых.

Подход. Это прямое применение классического определения вероятности. Каждый кубик даёт число от 1 до 6, и оба броска равновозможны и никак не влияют друг на друга — значит, все пары результатов (первый кубик, второй кубик) равновозможны между собой. Значит, нужно: (1) посчитать общее число всех таких пар — это n; (2) выписать все пары, которые в сумме дают 8, — это благоприятные исходы, их количество m; (3) поделить m на n. Единственная ловушка — не перепутать пары «2 и 6» с «6 и 2»: кубики разные (или брошены в разное время), поэтому это два разных исхода, а не один.

Показать решение и ответ

Шаг 1. Считаем общее число исходов. Первый кубик даёт 6 вариантов, второй — тоже 6, и они независимы, поэтому общее число пар: n = 6 × 6 = 36.

Шаг 2. Ищем все пары (первый кубик; второй кубик), где сумма очков равна 8: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Итого m = 5 благоприятных исходов.

Шаг 3. Применяем классическое определение вероятности: P = m / n = 5 / 36 ≈ 0,1388...

Округляем до сотых.

Ответ: 0,14