Разбор задания 16. Финансовая математика: вклады — теория и разбор

Задание 16: вклад под проценты — как банк «крутит» деньги

Представьте, что вы положили деньги на счёт в банке под определённый процент годовых. Наивно кажется, что через два года набежит ровно вдвое больше процентов, чем за один. Но это не так: банк начисляет проценты не на исходную сумму, а на текущий остаток на счёте — то есть на сумму, которая уже включает проценты за предыдущие периоды. Такой режим начисления называется капитализацией — процент «встраивается» в тело вклада и сам начинает приносить проценты. Именно из-за капитализации деньги на вкладе растут не линейно, а по нарастающей — с каждым годом всё быстрее.

Задание 16 в профильном ЕГЭ почти всегда посвящено именно этому эффекту. Разброс подтипов внутри задания довольно широкий: банковский вклад с простыми процентами (без капитализации), вклад со сложными процентами (с капитализацией, что встречается чаще), вклады с довкладами — когда вкладчик доносит деньги в середине срока, — и, реже, обратные задачи: по известному итоговому результату найти неизвестную процентную ставку или срок вклада. Формально это одна и та же математическая модель, применённая в разных направлениях, но именно перестановка «данного» и «искомого» чаще всего сбивает с толку на экзамене.

Что нужно знать

Почему рост экспоненциальный, а не линейный

Если бы проценты каждый год начислялись на исходную сумму (это и есть простые проценты), рост был бы линейным: за n лет вклад увеличился бы на одну и ту же добавку каждый год. При капитализации же база для начисления процентов растёт сама, поэтому итоговая сумма — это исходная сумма, умноженная на растущий множитель n раз подряд. Такое повторное умножение на одно и то же число и даёт экспоненциальный (то есть ускоряющийся) рост.

Главное, что нужно понять раз и навсегда: при капитализации процент в каждом следующем периоде начисляется не на первоначальный вклад, а на уже выросшую сумму — отсюда и ускорение роста.

Простые и сложные проценты: в чём разница

Характеристика	Простые проценты	Сложные проценты (капитализация)
База начисления	Всегда исходная сумма	Текущий остаток (с учётом прошлых начислений)
Тип роста	Линейный	Экспоненциальный
Формула за n периодов	A = P + P·r·n	A = P·(1 + r)ⁿ
Где встречается на практике	Короткие вклады, некоторые облигации	Большинство банковских вкладов, кредиты

Здесь P — первоначальная сумма (тело вклада), r — процентная ставка за период в долях единицы (например, 10% — это 0,1), n — количество периодов начисления, A — итоговая сумма.

Опорная формула сложных процентов, на которой строится почти всё задание 16: A = P × (1 + r)ⁿ

Довклады и частичное снятие

Многие задачи усложняют базовую модель: вкладчик не просто ждёт n лет, а в какой-то момент довносит деньги (довклад) или, наоборот, снимает часть суммы. В этом случае нельзя просто применить формулу один раз ко всему сроку — нужно разбить срок на промежутки между операциями и последовательно применять формулу к каждому промежутку, каждый раз меняя текущий остаток на счёте перед следующим начислением процентов.

Обратные задачи: поиск ставки или срока

Иногда в условии известна итоговая сумма, а найти нужно ставку r или число периодов n. Тогда работают с той же формулой A = P·(1 + r)ⁿ, но выражают неизвестную величину: r — через извлечение корня n-й степени из отношения A/P, а n — через логарифм. На ЕГЭ такие задачи обычно подбирают числа так, чтобы корень или логарифм считался «красиво», без калькулятора, поэтому важно узнавать характерные степени (1,1² = 1,21; 1,1³ = 1,331 и т.д.).

Иллюстрация

Разбор примера

Дано: вкладчик открыл счёт на сумму 1 200 000 рублей под 10% годовых с ежегодной капитализацией процентов сроком на 2 года. В начале второго года (то есть сразу после начисления процентов за первый год) вкладчик внёс на счёт дополнительно 300 000 рублей.

Найти: сумму на счёте по окончании второго года (после начисления процентов за второй год).

Подход: нельзя применить формулу A = P·(1 + r)ⁿ сразу ко всему сроку, потому что довклад меняет базу начисления в середине пути. Разбиваем срок на два отдельных шага. Сначала считаем, во что превратилась исходная сумма за первый год. Затем к получившемуся остатку прибавляем довклад — это и есть новая база для второго года. И только после этого применяем формулу ещё раз, уже к обновлённой сумме, за второй год.

Показать решение и ответ

Шаг 1. Считаем множитель роста: k = 1 + r = 1 + 0,1 = 1,1.

Шаг 2. Сумма на счёте по итогам первого года: A₁ = 1 200 000 × 1,1 = 1 320 000 рублей.

Шаг 3. Довклад в начале второго года увеличивает базу: 1 320 000 + 300 000 = 1 620 000 рублей — именно эта сумма теперь «работает» под процент во втором году.

Шаг 4. Сумма на счёте по итогам второго года: A₂ = 1 620 000 × 1,1 = 1 782 000 рублей.

Ответ: 1 782 000 рублей.