Планиметрия: окружность, центральные и вписанные углы — тренажёр
Два листа с задачами по окружности для задания 1 профильного ЕГЭ. Темы: центральный и вписанный угол, углы, опирающиеся на одну дугу, диаметры, дуги окружности, описанная окружность и вписанные четырёхугольники. Метка «ОБЗ» — задача из открытого банка ФИПИ. Подходит для отработки планиметрии на занятии и дома.
Листы материала (2)
Разбор листа 1
Задача 33. Центральный угол вдвое больше вписанного: 2x = x + 34 → вписанный 34°, центральный 68°.
Задача 34. 2x = x + 20 → вписанный x = 20°.
Задача 35. ∠AOB = 180° − 122° = 58° (BD — диаметр). Вписанный ∠ACB опирается на ту же дугу AB: 58°/2 = 29°.
Задача 36. ∠ACB = 44° → дуга AB = 88° → ∠AOB = 88°. ∠AOD = 180° − 88° = 92°.
Задача 37. Дуга (2/5)·360° = 144°. Вписанный угол — половина дуги: 72°.
Задача 38. Дуга AB = 360° − 150° − 84° = 126°. ∠ACB = 126°/2 = 63°.
Задача 39. Радиус OA ⊥ касательной CA. В прямоугольном треугольнике OAC: ∠AOC = 90° − 31° = 59° → дуга AB = 59°.
Задача 40. Дуга AB = 43° → центральный ∠AOC = 43°. ∠ACO = 90° − 43° = 47°.
Задача 41. ∠AOC = 90° − 38° = 52°. ∠AOD = 180° − 52° = 128° → дуга AD = 128°.
Задача 42. Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным. В четырёхугольнике OACB: ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 68° = 112°.
Задача 43. Угол между секущими равен полуразности дуг: 56° = (134° − дуга DE)/2 → дуга DE = 22°. Вписанный ∠DAE = 22°/2 = 11°.
Задача 44. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD → 19 + CD = 10 + 16 → CD = 7.
Задача 45. P = 2·(AB + CD) = 2·(34 + 20) = 108.
Задача 46. Суммы противоположных сторон равны: сумма оснований = сумма боковых = P/2 = 21. Меньшая боковая (высота) h: h + 12 = 21 → h = 9. Радиус r = h/2 = 4,5.
Задача 47. Сумма оснований равна сумме боковых сторон = 8 + 10 = 18. Средняя линия: 18/2 = 9.
Разбор листа 2
Задача 48. ∠ABD = 75° → дуга AD = 150°; ∠CAD = 31° → дуга CD = 62°. ∠ABC опирается на дугу ADC = 150° + 62° = 212° → ∠ABC = 106°.
Задача 49. ∠ABC = 110° → дуга ADC = 220°; ∠CAD = 74° → дуга CD = 148°. Дуга AD = 220° − 148° = 72° → ∠ABD = 36°.
Задача 50. ∠ABC = 71° → дуга ADC = 142°; ∠ABD = 47° → дуга AD = 94°. Дуга DC = 48° → ∠CAD = 24°.
Задача 51. Суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны 180°: ∠BCD = 180° − 134° = 46°.
Задача 52. Оставшиеся углы: 180° − 61° = 119° и 180° − 87° = 93°. Меньший 93°.
Задача 53. 180° − 79° = 101° и 180° − 128° = 52°. Больший 101°.
Задача 54. Расширенная теорема синусов: R = AB/(2·sin C) = 6√3/(2·sin 120°) = 6√3/√3 = 6.
ege-profil-planimetriya-vpisannye-centralnye-ugly.png
1.4 МБ
ege-profil-planimetriya-opisannaya-okruzhnost.png
1.3 МБ
По этой теме
Планиметрия: треугольники и четырёхугольники — тренажёр
Три листа с задачами по планиметрии для задания 1 профильного ЕГЭ. Темы: биссектриса, медиана и высота, сумма углов треугольника, равнобедренный и прямоугольный треугольник, параллелограмм, ромб и трапеция, площади и теорема Пифагора, средняя линия, синус, косинус и тангенс острого угла. Задачи 1–28, метка «ОБЗ» — задача из открытого банка ФИПИ. Удобно выдавать ученику как домашнюю работу или использовать на занятии.
Диаграммы: чтение и интерпретация данных
Работа с данными · Диаграммы: чтение и интерпретация данных
Ученик сможет читать простую столбчатую диаграмму, сравнивать значения, находить сумму и разность данных и делать выводы.
Числа до 1000
числа до 1000 · Сводный список по учебному плану
Ученик сможет читать, записывать, сравнивать и упорядочивать числа от 0 до 1000, находить соседние числа и объяснять сравнение по разрядам.
Час и минута
час/минута · Числа и величины
Ученик понимает тему «час/минута» и может применить её в типовом задании своего класса, объяснив ключевой шаг простыми словами.