Разбор задания 3. Площадь листа формата Аn — теория и разбор

Задание 3. Площадь листа формата Аn — теория и разбор

Третий вопрос — найти площадь листа заданного формата, зная только, что площадь А0 равна 1 м², и переведя ответ в нужные единицы.

Что нужно знать

Так как каждое деление пополам уменьшает площадь ровно вдвое (не важно, как при этом меняются длина и ширина по отдельности), площадь любого формата Аn считается по одной формуле:

S(Аn) = S(А0) / 2ⁿ

Площадь А0 равна 1 м² = 10 000 см² (в 1 см² помещается 10×10 = 100 мм², а в 1 м² — 1000×1000 = 1 000 000 мм², то есть 10 000 см²). Дальше просто делим это число пополам столько раз, каков номер формата.

Делить на 2 нужно ровно n раз, где n — номер формата: для А0 делений 0 (n=0, то есть площадь не делится), для А1 — одно деление, для А2 — два, и так далее; частая ошибка — сдвинуть счётчик на единицу и посчитать А1 как n=0, а А0 — как n=1.

Формула площади: S(Аn) = S(А0) / 2ⁿ, где S(А0) = 10 000 см² — при переводе в другие единицы переводить нужно именно S(А0), а не результат деления.

Есть и практическая тонкость, о которой стоит знать: если считать площадь через приближённые размеры сторон в миллиметрах (округлённые до целого мм), результат немного отличается от результата через деление 10 000 см² пополам — это связано с тем, что стороны реальных листов не могут в точности выдерживать иррациональное отношение √2, лежащее в основе серии А. На экзамене обычно засчитывают оба варианта ответа, если оба посчитаны верно своим методом.

Разбор примера

Как думать. Формат А1 получается одним делением пополам из А0, значит его площадь — ровно половина площади А0, выраженной в квадратных сантиметрах.

Площадь А0: S(А0) = 1 м² = 10 000 см².

Площадь А1: S(А1) = 10 000 / 2¹ = 10 000 / 2 = 5000 см².

Если же посчитать через размеры сторон А1 в миллиметрах (841 мм × 594 мм), получится 841 · 594 = 499 554 мм² = 4995,54 см² — чуть меньше 5000 из-за округления сторон до целых миллиметров. Оба значения на экзамене принимаются как верные, но более простой и ожидаемый способ — через деление площади пополам.

Ответ: 5000